Ces mathématiciens qui ont craqué la loterie

Une méthode infaillible pour gagner à la loterie ? Non je ne vous parlerai pas ici de technique miracle qui, abusant de l’incrédulité et de la méconnaissance des probabilités élémentaires, proposerait d’analyser les tirages précédents pour en déduire les nombres qui auraient plus de chance de sortir, ou de choisir des combinaisons particulières (n’en déplaise à certains, la suite 1-2-3-4-5-6 aura autant de chance de sortir que 7-12-15-21-32-40).
L’histoire que je vais vous conter, basée sur un rapport de la Massachusetts  Lottery Commission, est celle d’une loterie américaine, qui pendant près de six ans fut exploitée par plusieurs groupes, dont des étudiants du MIT, s’organisant en misant des quantités énormes de tickets façon à pouvoir être sûr d’être bénéficiaire sur chaque tirage.

1. La loterie
Nous sommes aux États-Unis, dans le Massachusetts. En 02004 est introduit le Cash WinFall. Cette loterie a une particularité qui la rend unique dans tout le pays.Chaque ticket à 2$ permet d’y choisir 6 nombres entre 1 et 46. Pour chaque dollar misé, 60 centimes sont mis en jeu dans la cagnotte, laissant 40 centimes au fonctionnement de la loterie. Obtenir les 6 bons numéros (avec une probabilité de 1 sur  9 366 819) permet d’obtenir le jackpot, qui est au minimum de 500 000$. Avec 5 bons numéros (1 chance sur 39 028) le gain est de 4 000$, pour 4 bons numéros (1 chance sur 801) il est de 150$, pour 3 bons numéros (1 chance sur 47) il est de 5$. Enfin 2 bons numéros (1 chance sur 7) donne un bon gratuit de 2$ pour un prochain tirage.

Voyons en aparté comment sont calculées ces probabilités :

Ce qui rend Cash Winfall si profitable, c’est son jackpot fixé à un maximum de 2 millions de dollars. Si le jackpot atteint les deux millions et que personne ne le remporte sur le tirage, l’argent est redistribué, en un roll-down, aux rangs inférieurs augmentant drastiquement leurs gains.
Voyons s’effectue un roll-down sur un tirage classique.
Au 4 février 02010, le jackpot de 1 631 236$ n’a pas été remporté et ce montant est donc reporté au tirage suivant. Le lendemain la Loterie publie une estimation comme quoi le jackpot du 8 février dépassera les 2 millions, annonçant ainsi un futur roll-down, ce qui entraîne une vague importante de mises au cours des quatre jours. Au 8 février, le jackpot atteint ainsi les 2.4 millions, que personne ne remportera.
Sur ce montant, 26% (633 333$) est reversé au rang 5. Les 35 gagnants ayant réunis 5 bons numéros sur 6 remportent alors la somme de 22 096$ (les 4000$ de base + 1/35e des 633 333$).
De même, 47% du jackpot (1 158 000$) est réparti au rang 4. Pour les 1 761 tickets à 4 numéros sur 6, le gain est de 807$ au lieu de 150$.
27% du jackpot (652 000$) est distribué au rang 3. 29 832 gagnants à 3 numéros repartent avec 27$ au lieu de 5$.
Ainsi par les prix boostés lors d’un roll-down, jouer au Cash Winfall devenait statistiquement un bon pari. Tant que personne ne remportait le jackpot (ce qui n’arrivera qu’une seule fois sur toute l’histoire de la Loterie), chaque dollar misé rapportait en moyenne 1.15$, un profit de 15% donc. La façon d’exploiter au mieux cette spécificité étant d’acheter un nombre important de tickets.

2. Les étudiants du MIT
En 02005, James Harvey, étudiant au célèbre Institut de technologie du Massachusetts (MIT) recherche différentes loteries pour son projet de dernière année, et tombe ainsi sur le Cash Winfall. Rapidement il se rend compte du caractère lucratif qu’offraient les roll-down, et réunit une cinquantaine de camarades pour participer à un tirage. Achetant 500 tickets, ils remportent 2 364$ qu’ils réinvestissent dans d’autres tirages.
Harvey calcule que la stratégie optimale est d’acheter 300 000 tickets. De nombreux facteurs sont cependant à prendre en compte: la quantité de tickets à acheter pour faire passer le jackpot à 2 millions, une estimation du nombre de tickets joués par les autres parieurs, et même les conditions météo (un temps humide augmentait le risque qu’une machine tombe en panne. Une fois une panne de courant a contraint le groupe d’annuler leurs opérations) !
Le temps passé à valider chaque ticket est également limitant. Harvey créé un programme informatique générant une série de nombre à la distribution optimale sur l’ensemble de la grille, mais les règles de la Loterie interdisant de remplir les tickets par ordinateur, ainsi doivent-ils tous les valider à la main. Il leur faut également trouver des boutiques libres où monopoliser un employé des heures durant pour scanner chaque ticket. Sans parler du temps passé à retrouver chaque ticket gagnant !
Pour Harvey, gérer le groupe de loterie devient un travail à plein temps sur sept années, pour des sommes misées de 18 millions de dollars. S’il refuse de communiquer ses bénéfices, ses gains sont estimés par l’OIG à près de 3.5 millions de dollars.

3. Les autres gros parieurs
D’autres groupes de joueurs ont également sauté sur l’occasion. Gerard Selbee est un commerçant du Michigan. Entre 02003 et 02005 il joue à une loterie appelée Winfall, qui repose sur le même principe que celle du Massachusetts, formant un club de 32 parieurs. Lorsque la Loterie du Michigan est fermée, Selbee apprend l’existence de Cash Winfall et recommence ses activités de joueur.
En août 02005, pour leur première partie, Selbee et son groupe achètent 60 000 tickets et font un bénéfice de 45%. Réinvestissant leurs gains, ils augmentent leur fond commun jusqu’à pouvoir constamment placer 312 000 mises, ce que Selbee estime être optimal.
A la différence du groupe du MIT, Selbee utilise le système Quic Pics, qui laisse les machines de la loterie choisir aléatoirement les numéros sur chaque ticket. Si cela leur permet de gagner du temps au remplissage et au scannage de chaque ticket, ce procédé a deux inconvénients majeurs. Selbee ne peut être sûr d’avoir une distribution assez large de toutes les combinaisons, et il ne peut éviter de jouer des combinaisons en double.
Pas de raccourci par contre pour collecter les tickets gagnants. Selbee et sa femme passent ainsi jusqu’à 10 heures par jour pendant 10 jours (!) à les inspecter à la main.

Un troisième groupe prend également part aux opérations. Le Dr Ying Zhang, chercheur biomédical à Boston, découvre par accident les propriétés de Cash Winfall. Voulant prouver à ses amis que la loterie par ses faibles chances n’était qu’une taxe visant les pauvres, il étudie diverses loteries du Massachusetts. Tombant alors sur Cash Winfall, il est choqué de constater qu’un roll-down faisait pencher la balance du côté des parieurs.
Zhang réunit alors plusieurs amis et après avoir mis deux mois à remplir chaque ticket,  fait sa première mise de 100 000$ en 02005. De façon similaire aux autres groupes, il réinvestit ses gains, jusqu’à atteindre des mises de 500 000$. Il quitte son travail de chercheur pour se consacrer à plein temps à la loterie.

La présence de plusieurs groupes de gros joueurs avait un inconvénient. Entre 02004 et 02005, le nombre de tickets achetés lors d’un roll-down ne dépassait jamais les 950 000. Ainsi devant le faible nombre de joueurs, les chances de partager avec d’autres gagnants étaient réduites et les gains d’autant plus importants. Le tirage du 7 février 02005 par exemple n’avait vendu que 470 000 tickets.  Seuls 7 tickets avaient 5 bons numéros, rapportant alors 63 604$. 4 bons numéros étaient payés 2 364$, et 3 bons numéros 77$.
En 02007, par l’apport massif des différents groupes de parieurs, à chaque roll-down la Loterie vend entre 1.2 et 1.4 millions de tickets, et chaque paiement est ainsi réparti entre un nombre plus important de tickets. En moyenne, 5 bons numéros rapportent alors 23 000$, 4 bons numéros 900$ et 3 bons numéros 27$.
Zhang calcule que les profits lors d’un roll-down sont de 15% (Selbee estimera lui cette marge entre 17 et 21%). Les chances que quelqu’un touche le jackpot étant de 12%, Zhang décide de fermer son club, qui est alors repris par Wennan Xiong, une chercheuse à la Northeastern University. Le 10 juillet 02008, le groupe de Xiong remporte un jackpot à 2 millions de dollars qui aurait donc causé un roll-down. Cette victoire inattendue cause plusieurs centaines de milliers de dollars de perte aux groupes du MIT et de Selbee.

4. Le tirage du 16 août 02010
Le 16 août 02010 a eu lieu un événement unique dans l’histoire de Cash WinFall, où un club unique de parieurs, celui du MIT, a pris la Loterie et tous les autres groupes de joueurs par surprise. Alors que le jackpot était estimé à moins de 1.6 millions de dollars et donc n’était pas censé initier un roll-down, les étudiants du MIT prirent alors d’assaut la loterie pour faire passer le jackpot au-dessus des 2 millions, monopolisant les gains du roll-down.
Une année entirère de préparation fut nécessaire. Pour faire passer à eux seuls les 1.6 millions au dessus des 2 millions, il leur fallait pas moins de 700 000 tickets à remplir, le double de leur mise habituelle. Le 12 août 02010, personne ne remporta le jackpot de 1 592 432$ et la Loterie publia le lendemain son estimation pour le 16 août à 1 675 000$. Au cours des trois jours suivants, Harvey et son groupe validèrent donc leurs 700 000 tickets, possédant 7 tickets sur 8 joués pour ce tirage, sans grande crainte que quelqu’un ne touche le jackpot. Leur seul crainte fut que la Loterie mette à jour son estimation du jackpot, avertissant ainsi les autres groupes. Mais la Loterie ne publia pas d’annonce et tout se déroula comme prévu. Personne ne remporta le jackpot et les 2 128 979$ furent répartis en roll-down.
Le groupe du MIT remporta 18 des 21 tickets à 5 numéros, et 868 des 1002 tickets à 4 numéros (la Loterie ne tient pas de compte pour les gagnants du rang 3 et 2). Leurs gains, pour une mise de 1.4 millions de dollars, furent estimés à 700 000$.
Suite à ce roll-down surprise, la Loterie installa un système de sécurité avertissant d’une quantité inhabituelle de transactions et mettant à jour rapidement les estimations du jackpot.

5. La fin d’un rêve
Suite à un article du Boston Globe, mettant en évidence ces pratiques et la publicité négative l’accompagnant, la Loterie change son règlement rendant les mises en masse pratiquement impossible. En août 02011, elle fixe une limite de 5 000$ sur la quantité de tickets de chaque boutique, et en octobre 02011 à 2 500$ le maximum de vente par terminal à chaque tirage. Ces mesures réduisent effectivement le nombre de tickets vendus avant un roll-down attendu. En octobre 02011, le jackpot est resté au-dessus de 1.6 millions de dollars pendant quatre tirage consécutifs, alors qu’avant ces changements l’apport des gros parieurs aurait assurément provoqué un roll-down.

D’après Selbee et Zhang, la présence des groupes groupes de parieurs était reconnue et même encouragée par la Loterie. Avec 40% des sommes en jeu qui lui revenait et par la quantité importante des mises, la Loterie en était le premier gagnant.
Le Cash Winfall était conçu pour attirer un afflux de joueurs en redistribuant le jackpot quand il n’était pas touché. Tant que la Loterie annonçait à temps l’imminence d’un roll-down, les petits parieurs n’étaient pas désavantagés et ne voyaient pas leurs chances réduites. A chaque roll-down, Cash Winfall devenait un pari rentable pour tout le monde.

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