Pi = 4

Happy Pi Day!

En ce jour glorieux où l’on célèbre les merveilles Pi, regardons cette image qui circule un peu partout sur le net et qui semble prouver que Pi vaudrait tout simplement… 4.

Devant l’énormité de cette proposition, voyons rapidement en quoi c’est, heureusement, faux.
– L’image montre une série de courbes, qui au sens géométrique désigne toute ligne continue. Une courbe peut être une droite, un segment, un cercle…
– La suite converge vers une courbe limite.
Cette limite est un cercle parfait. Sa longueur est Pi (son diamètre étant de 1).
Sont égalements vraies les propositions suivantes :
– Chaque courbe de la suite a une longueur bien définie.
– Chaque courbe de la suite est de longueur 4.
– Les longueurs des courbes forment ainsi la suite : 4, 4, 4, 4…
Cette suite a une limite, qui est de 4, et pas Pi.
Aucune de ces propositions ne se contredisent.

Pourquoi ? Parce que la limite d’une suite n’est pas nécessairement un membre de cette suite et ne partage pas nécessairement les propriétés des membres de cette suite.
On a ici une suite de courbes de longueur 4 dont la courbe limite n’est pas de longueur 4. On a une suite de courbes en dent de scie et à angle droit dont la courbe limite n’est pas en dent se scie et à angle droit, mais bien lisse. C’est ainsi.

La longeur d’une courbe est en effet une fonction de sa dérivée (sa pente). Voyons cela :

longeur

dy/dx est la « dérivée de y par rapport à x ». Si on traçait la courbe de y en fonction de x, ça serait la pente de cette courbe et L repose sur ça.
Ainsi en réponse au problème, pour approximer un chemin par un autre, en faisant en sorte qu’ils finissent par avoir la même longueur, il faut surtout s’assurer que les deux chemins aient la même pente sur toute leur longueur.

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