Enigme : Le butin des pirates

Une autre, une autre !
Deux questions ici, une facile et une plus complexe. Voici l’énigme des pirates :

Un groupe de 5 pirates cherche à se partager un butin de 100 pièces d’or.
Fonctionnant sous une démocratie particulière, le plus féroce d’entre eux propose un partage, une répartition des pièces d’or entre eux (« moi j’ai x pièces, lui a y pièces, lui a z pièces, etc. »), et chacun d’eux (y compris celui qui l’a proposé) vote pour ou contre ce partage. Si la proposition obtient 50% ou plus des voix, elle est acceptée, sinon elle est rejetée et le pirate qui l’a proposée est jeté par-dessus bord. Dans ce cas c’est le pirate suivant (toujours classé par degré de férocité !) qui propose un partage aux restants.
Tous les pirates adorent jeter leurs compagnons par-dessus bord, mais s’ils ont le choix ils préfèrent obtenir de l’or. Chaque pièce est indivisible, et les arrangements pour partager des pièces après coup ne sont pas permis parce que les pirates ne se font pas confiance. Les pirates n’aiment pas être tués (étonnant !). Ils sont tous rationnels et raisonnent donc uniquement de façon logique (vraiment étonnant là !).
Enfin tous les pirates connaissent l’ensemble de ces règles.

– Le pirate le plus féroce propose son partage. Quelle est la somme qu’il peut espérer obtenir ?
– Même question, mais avec 500 pirates, et toujours 100 pièces d’or.

La solution à cette énigme se trouvera ici.

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Le paradoxe de Newcomb

Le paradoxe de Newcomb, nommé son créateur le physicien William Newcomb, est plus une expérience de pensée de la théorie de la décision sur le libre-arbitre et la causalité qu’un simple problème mathématique de théorie des jeux.

Il se présente ainsi :

On vous propose de choisir parmi deux boîtes, A et B. On vous laisse soit prendre la boîte B, soit repartir avec les deux boîtes A et B.
La boîte A contient 1 000 €, la boîte B contient 1 000 000 € ou 0 € selon une condition particulière.
En effet la veille de votre choix, un devin fait une prédiction infaillible et remplit la boîte B en fonction :
– S’il prédit que vous ne prenez que la boîte B, il y met 1 000 000 €.
– S’il prédit que vous allez prendre les deux, il n’y met rien.
Que choisissez-vous ?

A ce problème, publié et analysé par le philosophe Robert Nozick en 01969, deux solutions tout autant justifiées apparaissent.
– Solution 1 : Vous prenez les deux boîtes, car au moment où vous prenez votre décision la boîte B a déjà son contenu. Dans tous les cas, vous aurez 1 000 € de plus en rajoutant la boîte A.
– Solution 2 : Choisir la boîte B garantit 1 000 000 €. En prenant les deux, le devin l’ayant prédit, on ne repart qu’avec 1 000 €.

Alors, que faire ?
Si on étudie le problème d’une approche mathématique, par le principe de dominance choisir les deux boîtes rapportant plus dans tous les cas, il convient de choisir les deux. Quelque soit le contenu de la boîte B, on obtient 1 000 € de plus en prenant les deux.
Mais l’énoncé indique le devin fait une prédiction toujours correcte. On peut ainsi mettre de côté les cas où la prédiction est fausse. Le choix est donc entre gagner 1 000 000 € en prenant juste B ou gagner 1 000 € en prenant les deux.
En supposant maintenant que le prédiction n’est que « presque toujours » correcte, par exemple à 99%, on peut calculer l’espérance de gain par choix :
– En choisissant les deux boîtes, on gagne en moyenne 1 000 € * 0.99 + 1 000 100 € * 0.01 = 11 000 €
– En choisissant la boîte B, on gagne en moyenne 0.99 * 1 000 000 € + 0.01 * 0 € = 990 000 €.
Et la décision en voulant maximiser l’espérance de gain serait donc de ne prendre que la boîte B.

La question partage, et chaque camp  semble convaincu de la pertinence de son choix. Newcomb d’ailleurs recommandait de ne prendre qu’une boîte alors que Nozick y choisissait les deux.

Ma « solution » du problème :
Est-ce au moins un paradoxe ? Ça le serait si les deux arguments étaient aussi forts de telle sorte qu’on ne puisse jamais aboutir à une résolution. En tenant compte de l’énoncé, et en supposant raisonnable le fait que le devin puisse prédire correctement, l’argument de choisir une seule boîte m’apparaît comme évident.
Certes il fait intervenir des éléments surnaturels comme l’existence d’un être omniscient reniant notre libre-arbitre, mais ce problème n’est qu’une expérience théorique utilisant des hypothèses impossibles et n’a pas but d’être analysé de façon réaliste.
Remplaçons l’idée d’une prédiction par une machine à voyager dans le temps. Le devin voit votre choix et retourne dans le passé pour y mettre le contenu des boîtes. Il apparaît clairement que le devin ne se trompera jamais et qu’il faut prendre uniquement la boîte B dans ce cas. Le paradoxe n’existe que si les gens lisent l’énoncé et ne tiennent pas compte de ce qui y est indiqué.

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Enigme : Les trois princesses [Solution]

Voyons la solution de cette énigme.
A première vue on pourrait la croire impossible. En effet, comment avec une seule question, dont on ne peut avoir que deux réponses possibles, pourrait-on départager trois personnes ?
Il s’agit en fait de bien comprendre l’énoncé. Car s’il y a bien trois princesses, le but n’est pas de déterminer qui est qui parmi les trois. Ce que l’on cherche, c’est partir avec la plus âgée ou la plus jeune. Il y a donc deux issues : soit on tombe sur celle qu’on veut (aînée ou benjamine), soit sur la mauvaise (cadette).
On doit donc trouver une question à laquelle l’aînée et la benjamine répondraient la même chose, et la cadette autre chose. Sachant que cette dernière répond au hasard… ça reste compliqué !

Si l’on ne peut différencier physiquement les trois sœurs, on peut par contre les classer. L’âge est une bonne relation d’ordre, tout comme le degré de vérité (l’énoncé n’avait en effet pas besoin de différencier les princesses par leurs âges et le problème aurait été le même s’il nous avait été présenté trois triplées d’âge égal). Ainsi ici « être plus âgé que » est équivalent à « dire plus la vérité que ».

Appelons nos trois princesses A B et C, sans savoir qui est qui bien sûr.
Posons à A la question suivante : « Est-ce que B est plus âgée que C ? »
Regardons les différentes possibilités :
– Si A est l’aînée (= dit la vérité) et que B est la cadette (= ment aléatoirement), A répondra oui.
– Si A est l’aînée et que B est la benjamine (= ment toujours), A répondra non.
Ainsi si A est l’aînée, il faudrait choisir C quand A dit oui, et B quand A dit non.
– Si A est la benjamine et que B est l’aînée, A répondra non (B est plus âgée que C mais A ment).
– Si A est la benjamine est que B est la cadette, A répondra oui.
Ainsi si A est la benjamine, il faudrait choisir B quand A dit non, et C quand A dit oui.
On remarque que ce sont les mêmes actions que A soit la plus âgée ou la plus jeune.

Mais si A est la cadette alors ?
– Si A est la cadette, sa réponse est aléatoire. Que vous choisissez B ou C, de toute façon vous tomberez sur la « bonne » princesse.
C’est là toute la subtilité de l’énigme. Vous ne cherchez pas à déterminer quelle est la princesse que vous choisissez, vous vous assurez juste qu’elle ne soit pas une qui mente de temps en temps (comme quelqu’un de normal en fait !).
Ainsi si A est la cadette, il faudrait choisir B ou C.

Bilan, en prenant B quand la réponse est non et C quand la réponse est oui, vous êtes sûr de ne pas tomber sur la mauvaise. Pfiou !

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Enigme : Les trois princesses

Cette énigme ressemble à un classique, mais cette variante me semble assez peu courante et demande plus de réflexion.

Vous êtes un prince célèbre du royaume, et le roi vous invite dans son château pour choisir comme épouse l’une de ses trois filles (ou de ses trois fils selon vos préférences !) qui se ressemblent comme trois gouttes d’eau. Il se trouve que, comme par hasard, l’aînée dit toujours la vérité et la benjamine ment toujours. La cadette par contre dit parfois la vérité et parfois un mensonge, de façon aléatoire.

Devant vivre pour toujours avec une des princesses, vous voulez épouser l’aînée ou la plus jeune parce qu’au moins avec elles vous savez à quoi vous en tenir.

Le problème est que vous ne pouvez pas les distinguer par leur apparence, et que le roi (ce fourbe !) ne vous donne le droit de poser qu’une seule question, dont la réponse devra être oui ou non, et qu’à une seule des sœurs (qui elles savent évidemment qui est qui parmi elles).
Quelle question poser pour ne pas tomber sur celle du milieu ?

Vous trouvez la solution à cette énigme… ici !

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Pi = 4

Happy Pi Day!

En ce jour glorieux où l’on célèbre les merveilles Pi, regardons cette image qui circule un peu partout sur le net et qui semble prouver que Pi vaudrait tout simplement… 4.

Devant l’énormité de cette proposition, voyons rapidement en quoi c’est, heureusement, faux.
– L’image montre une série de courbes, qui au sens géométrique désigne toute ligne continue. Une courbe peut être une droite, un segment, un cercle…
– La suite converge vers une courbe limite.
Cette limite est un cercle parfait. Sa longueur est Pi (son diamètre étant de 1).
Sont égalements vraies les propositions suivantes :
– Chaque courbe de la suite a une longueur bien définie.
– Chaque courbe de la suite est de longueur 4.
– Les longueurs des courbes forment ainsi la suite : 4, 4, 4, 4…
Cette suite a une limite, qui est de 4, et pas Pi.
Aucune de ces propositions ne se contredisent.

Pourquoi ? Parce que la limite d’une suite n’est pas nécessairement un membre de cette suite et ne partage pas nécessairement les propriétés des membres de cette suite.
On a ici une suite de courbes de longueur 4 dont la courbe limite n’est pas de longueur 4. On a une suite de courbes en dent de scie et à angle droit dont la courbe limite n’est pas en dent se scie et à angle droit, mais bien lisse. C’est ainsi.

La longeur d’une courbe est en effet une fonction de sa dérivée (sa pente). Voyons cela :

longeur

dy/dx est la « dérivée de y par rapport à x ». Si on traçait la courbe de y en fonction de x, ça serait la pente de cette courbe et L repose sur ça.
Ainsi en réponse au problème, pour approximer un chemin par un autre, en faisant en sorte qu’ils finissent par avoir la même longueur, il faut surtout s’assurer que les deux chemins aient la même pente sur toute leur longueur.

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Enigme : Les yeux verts [Solution]

Voici donc la solution à l’énigme des yeux verts. Ça va c’était pas trop difficile ?
La réponse est :

Les 100 personnes aux yeux verts partent au bout de 100 jours, et les autres restent sur l’île.

Le plus intéressant reste d’expliquer pourquoi. Pour cela on va réduire le problème à un cas extrême, puis remonter jusqu’à obtenir une solution générale.
Supposons qu’il y ait une personne A avec les yeux verts et 100 avec les yeux bruns. A ne sait pas sa propre couleur et n’a aucune raison de supposer qu’il a les yeux verts. Voyant 100 personnes avec les yeux bruns il aurait plutôt des raisons de penser que les siens sont bruns, mais ça non plus il ne peut en être sûr. Le Grand Prêtre annonce voir quelqu’un avec les yeux verts. Pour les 100 aux yeux bruns qui eux voient 1 personne aux yeux verts et 99 bruns, l’annonce n’apporte rien (en fait si, voir plus bas). Pour A, ne voyant personne aux yeux verts, il en déduit que c’est lui qui les a verts et part donc le soir même.
Ainsi avec 1 aux yeux verts et les autres bruns, celui aux yeux verts part le 1er jour. Ce cas de base n’est pas très intéressant.
Supposons maintenant qu’il y ait deux personnes A et B aux yeux verts et 100 aux yeux bruns. A et B voient chacun une personne aux yeux verts et 100 aux yeux bruns. Vient l’annonce du Grand Prêtre. A tient le raisonnement suivant : « Si j’ai les yeux bruns, B ne voit personne avec les yeux verts et partira donc ce soir ». B tient le même raisonnement. Le lendemain voyant chacun que l’autre n’est pas parti, ils s’en vont tous deux.
Ainsi avec 2 aux yeux verts et les autres bruns, les deux aux yeux verts partent le 2e jour. On commence à voir le schéma.
Un troisième pour la route : 3 aux yeux verts, A B et C, et 100 aux yeux bruns. A voit B et C aux yeux verts et tient le raisonnement suivant : « Si j’ai les yeux bruns, B et C partiront le deuxième jour (cf le cas d’avant) ». B et C tiennent le raisonnement identique. Arrivé au 3e jour, A B et C en déduisent qu’ils ont les yeux verts et partent.
On voit ainsi par une simple récurrence, qu’avec k personnes aux verts, ils partent tous au k-ème jour. Et ceux aux yeux bruns alors ? Le k+1-ème jour quand tous leurs potes aux yeux verts sont partis, ce serait tentant pour eux de partir en clamant qu’ils ont les yeux bruns. Mais ils ne peuvent pas le prouver, chacun pouvant avoir une autre couleur (jaune, bleu, ou n’importe autre que vert).

La beauté de cette énigme vient surtout de l’apport du Grand Prêtre qui, face à 100 personnes aux yeux verts et 100 aux yeux bruns, affirme « Je vois quelqu’un aux yeux verts ». Cette phrase semble évident pour tous, après tout, chacun voit au moins 99 personnes aux yeux verts. Alors à quoi sert réellement cette déclaration qui semble n’ajouter aucune information ?
Pour mieux saisir la clé du problème, regardons encore une fois des cas simples.
– A et B aux yeux verts. A et B (qui se voient l’un l’autre) savent qu’il y une personne aux yeux verts. Mais A ne sait pas que B voit une personne aux yeux verts. La connaissance « il existe une personne aux yeux verts » n’est que sur un seul rang, si je peux l’exprimer maladroitement ainsi.
– A B C aux yeux verts. A voit B et C aux yeux verts. A sait qu’il y a 2 ou 3 personnes aux yeux verts. A sait que B voit 1 ou 2 personnes aux yeux verts. Pour A, si B voit 1 personne aux yeux verts, il y en a en fait 2 ; si B voit 2 personnes aux yeux verts, il y en a en fait 3. Pour A, si B ne voit qu’une personne aux yeux verts, A sait que B pense « il y a 1 ou 2 personnes aux verts, et C voit 0 ou 1 personne aux yeux verts. Si C voit 0 personne aux yeux verts, pour C il y a 0 personne aux yeux verts ou il n’y en a qu’une. »
L’affirmation du Grand Prêtre réduit ces deux dernières possibilités en une seule. Avant ça, A ne savait pas si B savait que C savait qu’il y avait quelqu’un aux yeux verts sur l’île. Après sa déclaration, A sait que B sait que C sait qu’il y a des yeux verts sur l’île, et l’induction peut commencer. Le fait qu’il y ait des yeux verts sur l’île est passé en connaissance commune (common knowledge).

Quant aux yeux bruns, après que tous les yeux verts soient partis le 100e jour, ils ne peuvent quitter l’île le lendemain, le fait que quelqu’un ait les yeux bruns n’étant pas en connaissance commune. Un exemple simple serait de voir avec 100 aux yeux verts et 2 aux yeux bruns, A et B. On a vu que les 100 aux yeux verts partaient au bout de 100 jours. Le 101e jour, A et B sont seuls sur l’île. A et B voient chacun quelqu’un aux yeux bruns. A sait donc qu’il y a des gens aux yeux bruns. Mais A ne sait pas que B le sait. Si A avait les yeux jaunes par exemple, B ne pourrait pas savoir qu’il y a des gens aux yeux bruns. Et au final, aucun des deux ne pourra partir. Bref, pas besoin de continuer au rang supérieur, vous avez compris le principe.
Le Grand Prêtre non plus ne pourra jamais quitter l’île. Même s’il avait lui-même les yeux verts ; les habitants savent bien que le Grand Prêtre ne peut pas voir ses propres yeux.

J’ai rencontré cette énigme sur le site XKCD, dont l’auteur (qui n’est pas non plus l’inventeur) la présente comme le problème de logique le plus dur au monde. Le plus intéressant était sur le forum le sujet qui lui était consacré. Ce thread avait en effet une particularité que j’ai trouvée captivante et amusante. Bien que l’explication y a été détaillée et discutée de long en large des pages durant, à chaque fois quelqu’un y débarque, affirmant avoir lu la solution mais avoir trouvé une « faille » dans le raisonnement, ou une « solution alternative » complètement différente. Il présente alors sa réponse miracle à laquelle il s’accroche, jusqu’à ce que quelqu’un, un membre récurrent du sujet habituellement, finisse par le convaincre de la fausseté de son raisonnement. Et ce sur plus de 1000 messages pendant près de 7 ans ! Le plus beau dans tout ça, c’est qu’à chaque fois, les gens reconnaissent ensuite leur erreur, ce qui sur le net est suffisamment rare pour être signalé.

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Ces mathématiciens qui ont craqué la loterie

Une méthode infaillible pour gagner à la loterie ? Non je ne vous parlerai pas ici de technique miracle qui, abusant de l’incrédulité et de la méconnaissance des probabilités élémentaires, proposerait d’analyser les tirages précédents pour en déduire les nombres qui auraient plus de chance de sortir, ou de choisir des combinaisons particulières (n’en déplaise à certains, la suite 1-2-3-4-5-6 aura autant de chance de sortir que 7-12-15-21-32-40).
L’histoire que je vais vous conter, basée sur un rapport de la Massachusetts  Lottery Commission, est celle d’une loterie américaine, qui pendant près de six ans fut exploitée par plusieurs groupes, dont des étudiants du MIT, s’organisant en misant des quantités énormes de tickets façon à pouvoir être sûr d’être bénéficiaire sur chaque tirage.

1. La loterie
Nous sommes aux États-Unis, dans le Massachusetts. En 02004 est introduit le Cash WinFall. Cette loterie a une particularité qui la rend unique dans tout le pays.Chaque ticket à 2$ permet d’y choisir 6 nombres entre 1 et 46. Pour chaque dollar misé, 60 centimes sont mis en jeu dans la cagnotte, laissant 40 centimes au fonctionnement de la loterie. Obtenir les 6 bons numéros (avec une probabilité de 1 sur  9 366 819) permet d’obtenir le jackpot, qui est au minimum de 500 000$. Avec 5 bons numéros (1 chance sur 39 028) le gain est de 4 000$, pour 4 bons numéros (1 chance sur 801) il est de 150$, pour 3 bons numéros (1 chance sur 47) il est de 5$. Enfin 2 bons numéros (1 chance sur 7) donne un bon gratuit de 2$ pour un prochain tirage.

Voyons en aparté comment sont calculées ces probabilités :

Ce qui rend Cash Winfall si profitable, c’est son jackpot fixé à un maximum de 2 millions de dollars. Si le jackpot atteint les deux millions et que personne ne le remporte sur le tirage, l’argent est redistribué, en un roll-down, aux rangs inférieurs augmentant drastiquement leurs gains.
Voyons s’effectue un roll-down sur un tirage classique.
Au 4 février 02010, le jackpot de 1 631 236$ n’a pas été remporté et ce montant est donc reporté au tirage suivant. Le lendemain la Loterie publie une estimation comme quoi le jackpot du 8 février dépassera les 2 millions, annonçant ainsi un futur roll-down, ce qui entraîne une vague importante de mises au cours des quatre jours. Au 8 février, le jackpot atteint ainsi les 2.4 millions, que personne ne remportera.
Sur ce montant, 26% (633 333$) est reversé au rang 5. Les 35 gagnants ayant réunis 5 bons numéros sur 6 remportent alors la somme de 22 096$ (les 4000$ de base + 1/35e des 633 333$).
De même, 47% du jackpot (1 158 000$) est réparti au rang 4. Pour les 1 761 tickets à 4 numéros sur 6, le gain est de 807$ au lieu de 150$.
27% du jackpot (652 000$) est distribué au rang 3. 29 832 gagnants à 3 numéros repartent avec 27$ au lieu de 5$.
Ainsi par les prix boostés lors d’un roll-down, jouer au Cash Winfall devenait statistiquement un bon pari. Tant que personne ne remportait le jackpot (ce qui n’arrivera qu’une seule fois sur toute l’histoire de la Loterie), chaque dollar misé rapportait en moyenne 1.15$, un profit de 15% donc. La façon d’exploiter au mieux cette spécificité étant d’acheter un nombre important de tickets.

2. Les étudiants du MIT
En 02005, James Harvey, étudiant au célèbre Institut de technologie du Massachusetts (MIT) recherche différentes loteries pour son projet de dernière année, et tombe ainsi sur le Cash Winfall. Rapidement il se rend compte du caractère lucratif qu’offraient les roll-down, et réunit une cinquantaine de camarades pour participer à un tirage. Achetant 500 tickets, ils remportent 2 364$ qu’ils réinvestissent dans d’autres tirages.
Harvey calcule que la stratégie optimale est d’acheter 300 000 tickets. De nombreux facteurs sont cependant à prendre en compte: la quantité de tickets à acheter pour faire passer le jackpot à 2 millions, une estimation du nombre de tickets joués par les autres parieurs, et même les conditions météo (un temps humide augmentait le risque qu’une machine tombe en panne. Une fois une panne de courant a contraint le groupe d’annuler leurs opérations) !
Le temps passé à valider chaque ticket est également limitant. Harvey créé un programme informatique générant une série de nombre à la distribution optimale sur l’ensemble de la grille, mais les règles de la Loterie interdisant de remplir les tickets par ordinateur, ainsi doivent-ils tous les valider à la main. Il leur faut également trouver des boutiques libres où monopoliser un employé des heures durant pour scanner chaque ticket. Sans parler du temps passé à retrouver chaque ticket gagnant !
Pour Harvey, gérer le groupe de loterie devient un travail à plein temps sur sept années, pour des sommes misées de 18 millions de dollars. S’il refuse de communiquer ses bénéfices, ses gains sont estimés par l’OIG à près de 3.5 millions de dollars.

3. Les autres gros parieurs
D’autres groupes de joueurs ont également sauté sur l’occasion. Gerard Selbee est un commerçant du Michigan. Entre 02003 et 02005 il joue à une loterie appelée Winfall, qui repose sur le même principe que celle du Massachusetts, formant un club de 32 parieurs. Lorsque la Loterie du Michigan est fermée, Selbee apprend l’existence de Cash Winfall et recommence ses activités de joueur.
En août 02005, pour leur première partie, Selbee et son groupe achètent 60 000 tickets et font un bénéfice de 45%. Réinvestissant leurs gains, ils augmentent leur fond commun jusqu’à pouvoir constamment placer 312 000 mises, ce que Selbee estime être optimal.
A la différence du groupe du MIT, Selbee utilise le système Quic Pics, qui laisse les machines de la loterie choisir aléatoirement les numéros sur chaque ticket. Si cela leur permet de gagner du temps au remplissage et au scannage de chaque ticket, ce procédé a deux inconvénients majeurs. Selbee ne peut être sûr d’avoir une distribution assez large de toutes les combinaisons, et il ne peut éviter de jouer des combinaisons en double.
Pas de raccourci par contre pour collecter les tickets gagnants. Selbee et sa femme passent ainsi jusqu’à 10 heures par jour pendant 10 jours (!) à les inspecter à la main.

Un troisième groupe prend également part aux opérations. Le Dr Ying Zhang, chercheur biomédical à Boston, découvre par accident les propriétés de Cash Winfall. Voulant prouver à ses amis que la loterie par ses faibles chances n’était qu’une taxe visant les pauvres, il étudie diverses loteries du Massachusetts. Tombant alors sur Cash Winfall, il est choqué de constater qu’un roll-down faisait pencher la balance du côté des parieurs.
Zhang réunit alors plusieurs amis et après avoir mis deux mois à remplir chaque ticket,  fait sa première mise de 100 000$ en 02005. De façon similaire aux autres groupes, il réinvestit ses gains, jusqu’à atteindre des mises de 500 000$. Il quitte son travail de chercheur pour se consacrer à plein temps à la loterie.

La présence de plusieurs groupes de gros joueurs avait un inconvénient. Entre 02004 et 02005, le nombre de tickets achetés lors d’un roll-down ne dépassait jamais les 950 000. Ainsi devant le faible nombre de joueurs, les chances de partager avec d’autres gagnants étaient réduites et les gains d’autant plus importants. Le tirage du 7 février 02005 par exemple n’avait vendu que 470 000 tickets.  Seuls 7 tickets avaient 5 bons numéros, rapportant alors 63 604$. 4 bons numéros étaient payés 2 364$, et 3 bons numéros 77$.
En 02007, par l’apport massif des différents groupes de parieurs, à chaque roll-down la Loterie vend entre 1.2 et 1.4 millions de tickets, et chaque paiement est ainsi réparti entre un nombre plus important de tickets. En moyenne, 5 bons numéros rapportent alors 23 000$, 4 bons numéros 900$ et 3 bons numéros 27$.
Zhang calcule que les profits lors d’un roll-down sont de 15% (Selbee estimera lui cette marge entre 17 et 21%). Les chances que quelqu’un touche le jackpot étant de 12%, Zhang décide de fermer son club, qui est alors repris par Wennan Xiong, une chercheuse à la Northeastern University. Le 10 juillet 02008, le groupe de Xiong remporte un jackpot à 2 millions de dollars qui aurait donc causé un roll-down. Cette victoire inattendue cause plusieurs centaines de milliers de dollars de perte aux groupes du MIT et de Selbee.

4. Le tirage du 16 août 02010
Le 16 août 02010 a eu lieu un événement unique dans l’histoire de Cash WinFall, où un club unique de parieurs, celui du MIT, a pris la Loterie et tous les autres groupes de joueurs par surprise. Alors que le jackpot était estimé à moins de 1.6 millions de dollars et donc n’était pas censé initier un roll-down, les étudiants du MIT prirent alors d’assaut la loterie pour faire passer le jackpot au-dessus des 2 millions, monopolisant les gains du roll-down.
Une année entirère de préparation fut nécessaire. Pour faire passer à eux seuls les 1.6 millions au dessus des 2 millions, il leur fallait pas moins de 700 000 tickets à remplir, le double de leur mise habituelle. Le 12 août 02010, personne ne remporta le jackpot de 1 592 432$ et la Loterie publia le lendemain son estimation pour le 16 août à 1 675 000$. Au cours des trois jours suivants, Harvey et son groupe validèrent donc leurs 700 000 tickets, possédant 7 tickets sur 8 joués pour ce tirage, sans grande crainte que quelqu’un ne touche le jackpot. Leur seul crainte fut que la Loterie mette à jour son estimation du jackpot, avertissant ainsi les autres groupes. Mais la Loterie ne publia pas d’annonce et tout se déroula comme prévu. Personne ne remporta le jackpot et les 2 128 979$ furent répartis en roll-down.
Le groupe du MIT remporta 18 des 21 tickets à 5 numéros, et 868 des 1002 tickets à 4 numéros (la Loterie ne tient pas de compte pour les gagnants du rang 3 et 2). Leurs gains, pour une mise de 1.4 millions de dollars, furent estimés à 700 000$.
Suite à ce roll-down surprise, la Loterie installa un système de sécurité avertissant d’une quantité inhabituelle de transactions et mettant à jour rapidement les estimations du jackpot.

5. La fin d’un rêve
Suite à un article du Boston Globe, mettant en évidence ces pratiques et la publicité négative l’accompagnant, la Loterie change son règlement rendant les mises en masse pratiquement impossible. En août 02011, elle fixe une limite de 5 000$ sur la quantité de tickets de chaque boutique, et en octobre 02011 à 2 500$ le maximum de vente par terminal à chaque tirage. Ces mesures réduisent effectivement le nombre de tickets vendus avant un roll-down attendu. En octobre 02011, le jackpot est resté au-dessus de 1.6 millions de dollars pendant quatre tirage consécutifs, alors qu’avant ces changements l’apport des gros parieurs aurait assurément provoqué un roll-down.

D’après Selbee et Zhang, la présence des groupes groupes de parieurs était reconnue et même encouragée par la Loterie. Avec 40% des sommes en jeu qui lui revenait et par la quantité importante des mises, la Loterie en était le premier gagnant.
Le Cash Winfall était conçu pour attirer un afflux de joueurs en redistribuant le jackpot quand il n’était pas touché. Tant que la Loterie annonçait à temps l’imminence d’un roll-down, les petits parieurs n’étaient pas désavantagés et ne voyaient pas leurs chances réduites. A chaque roll-down, Cash Winfall devenait un pari rentable pour tout le monde.

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